کدهای دوری خوددوگان

یک کد خطی c‎ با طول ‎n‎ و بعد ‎k‎ روی میدان متناهی ‎f_q‎ یک زیرفضای ‎-k‎بعدی از فضای برداری ‎f_q^n‎ روی ‎f_q است. برای تعریف دوگان ‏یک کد روی ‎f_q‎‏، به تعریف یک ضرب داخلی روی این میدان نیا‏ز است. ضرب های داخلی اقلیدسی و هرمیتی‏، دو نمونه از این ضرب های داخلی هستند. دوگان فضای برداری c‎ که با ضرب داخلی اقلیدسی(هرمیتی) به دست می آید را دوگان اقلیدسی (هرمیتی) کد خطی c‎ نامیده و با نماد ‎ (c^(?_(h ) )) c^(?_(e ) ) ‎ نمایش می دهیم. کد خطی c‎ خوددوگان‏ اقلیدسی نامیده می شود هرگاه ‎?c=c?^(?_(e ) ). هم چنین c‎ خوددوگان‏ هرمیتی نامیده می شود هرگاه ‎?c=c^(c_(h ) )‎‏. یک کد خطی c‎ با طول ‎n‎‏ روی میدان f_q‎‏ را دوری نامیم هرگاه به ازای هر بردار (c_0,c_1,…,c_(n-1))‎ در c‎، بردار(c_(n-1),c_0,…,c_(n-2) ) نیز متعلق به c‎ باشد. بررسی وجود و رده بندی کدهای دوری و کدهای خوددوگان‏ روی یک میدان متناهی، یکی از زمینه های بسیار پویا در نظریه کدگذاری است. در سال های اخیر مطالعات بسیار زیادی بر روی کدهای دوری خوددوگان اقلیدسی روی میدان های متناهی انجام شده است. به عنوان مثال در سال 2011 ثابت شده است که شرط لازم و کافی برای وجود کدهای دوری خوددوگان اقلیدسی با طول ‎n‎ روی میدان ‎f_q‎ این است که ‎q‎ توانی از ‎?‎ بوده و ‎n‎ زوج باشد. هم چنین شمارشی از تعداد کدهای دوری خوددوگان اقلیدسی با طول ‎n‎ روی میدان f_(2^m ) ‎ ارایه شده است. در این پایان نامه‏، به بررسی این نتایج می پردازیم. علاوه بر این ثابت می کنیم که شرط لازم و کافی برای وجود کدهای دوری خوددوگان هرمیتی با طول ‎n‎ روی میدان f_q‎ این است که ‎q‎ توانی از ‎4‎ بوده و ‎n‎ زوج باشد‏. پس از آن‏، شمارش تعداد کدهای دوری خوددوگان هرمیتی با طول ‎n‎ روی f_(4^m )‎ را ارایه می کنیم.